【汇编】数制与数据编码

2023-09-13 17:22:00

【汇编】数制与数据编码

文章目录

1、计算机中的数制

1.1 数制介绍

1.1.1 进制

不同进制是用于表示数字的不同数制系统，它们在数学、计算机科学和工程中都有重要的应用。以下是一些常见的不同进制：

  1. 二进制（Binary）：
    • 二进制是计算机中最基本的进制，只包含两个数字：0和1。
    • 二进制在计算机内部表示数据和执行逻辑运算时非常重要。
  2. 十进制（Decimal）：
    • 十进制是我们日常生活中最常用的进制，包含0到9的十个数字。
    • 通常用于数学运算和人类交流。
  3. 八进制（Octal）：
    • 八进制包含0到7的数字，总共8个不同的符号。
    • 在计算机领域中较少使用，曾经在某些早期计算机系统中流行。
  4. 十六进制（Hexadecimal）：
    • 十六进制包含0到9的数字以及A到F（或a到f）共16个符号。
    • 十六进制常用于表示内存地址、颜色编码、二进制数据的可读格式等。
  5. 三进制（Ternary）：
    • 三进制包含0、1和2这三个数字，用于某些特殊应用中，如量子计算机和某些三态逻辑电路。
  6. 任意进制：
    • 除了上述常见的进制，还可以有任意进制，它们使用不同的基数来表示数字。例如，五进制、六进制等。
    • 在某些特殊数学问题和编程场景中，可以使用任意进制来表示数据。

每种进制都有其独特的特点和用途。在计算机科学中，二进制是最基本的，因为计算机硬件中使用的是二进制逻辑。其他进制通常用于数据的表示、调试、编码和交流，特别是在计算机编程、数字电路设计和底层系统编程中。

了解不同进制以及如何在它们之间进行转换对于理解计算机中的数据表示和运算非常有帮助。在编程中，也需要掌握进制转换的技巧，以便处理不同进制的数据。

1.1.2 进制转换

当涉及不同进制之间的转换时，以下是一些常见的进制转换示例：

  1. 二进制到十进制：
    • 二进制数：101101
    • 十进制数：(1 * 2^5) + (0 * 2^4) + (1 * 2^3) + (1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0) = 53
  2. 十进制到二进制：
    • 十进制数：27
    • 二进制数：11011
  3. 八进制到十进制：
    • 八进制数：53
    • 十进制数：(5 * 8^1) + (3 * 8^0) = 43
  4. 十进制到八进制：
    • 十进制数：124
    • 八进制数：174
  5. 十六进制到十进制：
    • 十六进制数：1A
    • 十进制数：(1 * 16^1) + (10 * 16^0) = 26
  6. 十进制到十六进制：
    • 十进制数：255
    • 十六进制数：FF
  7. 二进制到八进制：
    • 二进制数：1101101
    • 八进制数：155
  8. 八进制到二进制：
    • 八进制数：345
    • 二进制数：1101001
  9. 十六进制到二进制：
    • 十六进制数：1F3
    • 二进制数：11110011
  10. 二进制到十六进制：
    • 二进制数：1011101101
    • 十六进制数：5ED

这些示例展示了不同进制之间的常见转换过程。对于进一步的转换，可以使用计算器、编程语言中的函数或在线进制转换工具，以便更容易地执行这些操作。理解进制转换对于计算机科学、数字电路设计和编程等领域都非常重要。

1.2 基本数学运算

1.2.1 原反补码

原码、反码和补码是用于表示带符号整数的不同编码方式。它们在计算机中具有重要的意义。下面分别详细介绍原码、反码和补码：

原码（Sign-Magnitude Representation）：

  • 原码最简单，最直观的有符号整数表示方式。
  • 在原码中，最高位表示符号位（0表示正数，1表示负数），其余位表示数值的绝对值。
  • 例如，+5的原码是00000101，-5的原码是10000101。
  • 原码的优点是符号位直观，容易理解。但它有一个严重的问题，就是加法和减法的处理较为复杂，需要分别处理符号位和数值位。

反码（Ones’ Complement）：

  • 反码是在原码的基础上，对负数部分按位取反（0变1，1变0）得到的表示方法。
  • 例如，+5的反码仍然是00000101，-5的反码是11111010。
  • 反码用于简化加法和减法的操作，因为不需要分别处理符号位和数值位。
  • 但反码存在"零有两个表示形式"的问题，即+0和-0都有不同的表示，这导致了一些计算问题。

补码（Two’s Complement）：

  • 补码是表示带符号整数的最常用方法，也是计算机中广泛使用的方式。
  • 正数的补码与原码相同，负数的补码是对其对应正数的反码加1。
  • 例如，+5的补码是00000101，-5的补码是11111011。
  • 补码解决了加法和减法操作的一致性问题，使得计算机可以使用相同的加法电路执行这两种操作。
  • 补码也能够简单地检测溢出，因为它的溢出条件与正溢出和负溢出都相关。

总的来说，补码是计算机中用于表示带符号整数的最常见和最实用的方法，因为它简化了算术运算和处理负数的操作，并且在处理溢出时更加方便。原码和反码虽然在理论上有其存在的合理性，但在实际应用中并不常见，因为它们有一些不便之处。理解这些编码方式对于处理整数的表示、运算和溢出非常重要。

1.2.2 加法&减法

在计算机中，整数的加法是基本的算术运算之一，它可以在不同进制下执行，包括二进制、十进制、八进制和十六进制等。下面讲解加法的知识：

二进制加法：
二进制加法是在二进制数系统下执行的加法运算。它类似于十进制加法，但只包含两个数字：0和1。

  • 二进制加法规则：
    • 0 + 0 = 0
    • 0 + 1 = 1
    • 1 + 0 = 1
    • 1 + 1 = 10（这里的1写在当前位，进位到下一位）

进位（Carry）：
在二进制加法中，当两个位相加得到2时，会产生进位。进位是在更高位上的1，它会加到下一个位上。这是二进制加法的一个关键概念。

例如，要计算二进制数1101和1011的和：

  1101
+ 1011
-------
 11000

在这个例子中，最低位的1加1得到10，产生了一个进位，然后将10写在最低位，进位1被加到下一位，依此类推。最终的结果是11000。

溢出（Overflow）：
在有限位数的二进制表示中，加法可能导致溢出。溢出发生在结果的位数超出了可表示的范围。例如，在8位二进制中，127 + 1将导致溢出，因为它的结果128无法用8位二进制表示。

十进制加法：
十进制加法与二进制加法类似，但包含更多的数字（0到9）。

  • 十进制加法规则：
    • 0 + 0 = 0
    • 0 + 1 = 1
    • 1 + 0 = 1
    • 1 + 1 = 2（这里的2写在当前位，进位到下一位）
    • 8 + 7 = 15（这里的5写在当前位，进位到下一位）

十进制加法和二进制加法一样，也可以涉及进位和溢出的问题。

进位和借位：
在十进制加法中，进位和借位的概念与二进制类似。当两个位相加得到10时，会产生进位，将1加到下一位。而在减法中，如果被减数小于减数，则需要向高位借位。

总之，加法是数学中最基本的运算之一，无论是在计算机中还是在日常生活中都有广泛应用。在计算机中，加法是进行算术运算和处理数据的关键操作之一，因此理解不同进制下的加法规则和进位概念对于编程和计算机科学非常重要。

溢出&进位

溢出是在进行数学运算时，结果超出了表示范围的情况。这种情况通常在有限位数的数值表示中发生，如计算机中的整数表示。溢出问题可能导致错误的结果或未定义的行为，因此需要仔细处理。以下是有关溢出以及解决方案的详细信息：

溢出类型：
在数学运算中，有两种主要类型的溢出：

  1. 正溢出（Overflow）：
    • 正溢出发生在结果大于表示范围的情况下，通常是最高位溢出。这意味着结果太大，无法用相同位数的数据类型表示。
    • 例如，在一个8位的无符号整数中，255 + 1会导致正溢出，因为结果256无法用8位表示。
  2. 负溢出（Underflow）：
    • 负溢出发生在结果小于表示范围的情况下。这通常涉及到有符号整数的运算，导致结果比最小值还小。
    • 例如，在一个8位的有符号整数中，-128 - 1会导致负溢出，因为结果-129小于-128。

OF（Overflow Flag）和CF（Carry Flag）是计算机中的两个标志位，用于标识算术运算中的溢出和进位情况。它们通常与处理器的标志寄存器相关联，用于帮助检测和处理算术操作中的错误或特殊情况。

  1. OF（Overflow Flag）：

    • 溢出标志（Overflow Flag）用于检测有符号整数运算中的溢出情况。当有符号整数运算的结果超出了表示范围时，会设置溢出标志。
    • 例如，在有符号整数加法中，如果两个正数相加得到负数或两个负数相加得到正数，那么就会发生溢出，OF标志将被设置为1。

  2. CF（Carry Flag）：

    • 进位标志（Carry Flag）用于检测无符号整数运算中的进位情况。当无符号整数运算的结果超出了表示范围时，会设置进位标志。
    • 例如，在无符号整数加法中，如果两个很大的正数相加导致结果超出了数据类型的范围，进位标志CF将被设置为1。

这些标志位在处理器的标志寄存器中，程序员可以通过检查它们的值来判断运算是否发生了溢出或进位。在编程中，通常会使用条件分支来处理这些标志，以便在发生溢出或进位时采取适当的措施，例如错误处理或修复运算结果。

总的来说，OF和CF标志位是计算机体系结构中用于处理算术运算中的溢出和进位情况的重要工具，帮助确保运算的正确性和可靠性。

补码运算

补码运算解决了多个与整数表示和算术运算相关的问题，包括以下主要问题：

  1. 一致性的加法和减法：
    • 使用补码表示，计算机可以使用相同的硬件和操作来执行加法和减法运算。这简化了运算器的设计和运算的实现，因为不需要单独处理减法操作。
    • 无需单独的减法电路或指令，只需执行加法并处理进位，可以实现一致的加法和减法。
  2. 减法的简化：
    • 在补码中，减法可以视为加法的操作，只需要对被减数取其补码，然后执行加法。这消除了在计算机中实现独立的减法电路的需要。
    • 例如，要计算A - B，可以计算A + (-B)，其中-B表示为其补码。
  3. 防止溢出：
    • 补码可以更容易地检测溢出，因为只需要检查最高位的进位。如果进位发生了，那么溢出就发生了。这使得处理溢出变得更加可控。
    • 在有符号补码中，正溢出和负溢出可以通过进位来区分，使得溢出条件更加清晰。
  4. 无需特殊处理零：
    • 在补码中，零的表示和处理与其他数字一致。零的补码表示为全零，这使得零的处理更加简单，无需特殊情况。
  5. 提供了唯一的表示：
    • 补码中每个整数都有唯一的表示，而原码和反码中存在正负零有多种表示的问题。这有助于减少歧义和提高数学运算的一致性。

当使用补码表示进行加法和减法时，下面是分别针对加法和减法的示例：

加法示例：

假设我们使用8位补码表示法，考虑将两个整数相加：3（二进制补码为00000011）和 -2（二进制补码为11111110）。

  1. 首先，将它们的补码表示对齐到8位：

    00000011
11111110

  2. 接下来，执行二进制加法，从最低位（右边）开始逐位相加，并处理进位：

      00000011
+ 11111110
--------
  00000001

  3. 最终的结果为00000001。这是它的补码表示，需要将其转换为十进制：

    00000001的十进制值是 1。

所以，3 + (-2) 的结果为 1。

减法示例：

现在，假设我们要执行减法：5（二进制补码为00000101）减去 3（二进制补码为00000011）。

  1. 将它们的补码表示对齐到8位：

    00000101
00000011

  2. 执行减法，从最低位开始逐位相减。没有进位，所以结果如下：

      00000101
- 00000011
--------
  00000010

  3. 最终的结果为00000010。这是它的补码表示，需要将其转换为十进制：

    00000010的十进制值是 2。

所以，5 - 3 的结果为 2。

这两个示例展示了使用补码表示执行加法和减法的过程，其中补码的特性使加法和减法的操作保持一致。

1.3 其他数据编码

  1. ASCII码（美国信息交换标准码）：

    • 意义：ASCII码是一种用于表示文本字符的编码方式。它将每个字符映射到一个唯一的7位二进制数值（扩展的ASCII使用8位）。ASCII码的目的是标准化字符的表示，以便计算机可以处理文本数据，包括英文字母、数字、标点符号和一些控制字符。

    • 应用：ASCII码广泛用于计算机系统中的文本处理、通信协议、键盘输入和屏幕显示等。它使得计算机能够理解和处理文本信息，并支持不同的编程语言和操作系统。

  2. BCD码（二进制编码十进制）：

    • 意义：BCD码是一种用于表示十进制数字的编码方式。它将每个十进制数字映射到4位二进制数值。BCD码的目的是以紧凑的方式表示十进制数字，以便进行数字运算和显示。

    • 应用：BCD码通常用于数字处理和显示设备，如数码显示器、计算器和嵌入式系统。它可以更有效地表示和处理十进制数字，避免了浮点数运算的精度问题。

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