【数据结构】&&【C++】红黑树RBTree的模拟实现(平衡搜索二叉树)

2023-09-17 14:19:00

【数据结构】&&【C++】红黑树的模拟实现(平衡搜索二叉树）

一.红黑树的性质

1.什么是红黑树？

红黑树是一种搜索二叉树，但又在搜索树的基础上，在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，颜色有红色(Red)和黑色(Black)。
通过对每条从根到子叶路径上的各个结点颜色限制，红黑树可以确保最长路径不超过最短路径的二倍，从而是接近平衡的。

在这里插入图片描述

2.红黑树的性质：

1.每个结点要么是红色要么是黑色。
2.根节点必须为黑色。
3.如何一个结点是红色，那么它的孩子必须是黑色，即不能出现连续的红色结点！
4.每条路径上的黑色结点数量都是相同的。
5.叶子结点是黑色的，这里的的叶子结点指的是空结点NIL。

3.红黑树是如何控制最长路径不超过最短路径？

①因为要满足每条路径的黑色结点数量要相同，并且红色结点不能连续出现
②最短路径肯定是这种情况：全是黑色的。而最长路径肯定是一黑一红相间的。其他情况都是介于这两者之间的。
③所以最长路径最大也就是最短路径的二倍，而不会超过二倍，其他路径都是介于这中间的。
④本质：这是因为在红黑树中，黑色节点的数量在任意路径上是相等的，而红色节点只会出现在黑色节点之间，因此红色节点的数量最多是黑色节点数量的一半，所以最长路径不会超过最短路径的二倍。

在这里插入图片描述>

二.红黑树的模拟实现

1.结点的定义

红黑树相较于搜索树多出一个颜色表示。我们这里可以用枚举类型Color表示要么是红色，要么是黑色。

//红黑树，不是红色就是黑色
enum Color
{
	RED,
    BLACK
};
template <class K, class V>
//先定义结点
struct RBtreeNode
{
	RBtreeNode<K, V>* _left;
	RBtreeNode<K, V>* _right;
	RBtreeNode<K, V>* _parent;
	Color _col;
	pair<K, V> _kv;//存储的数据是pair类型
	RBtreeNode(const pair<K,V> kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_col(RED)//根结点是黑色,但插入的元素是红色的
		//这里我们默认给结点是红色的
		,_kv(kv)
	{}

};

2.搜索树的插入

红黑树的插入其实就是在搜索树的插入基础上加上了变色处理。所以前面的插入操作和搜索树是一样的。

template <class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBtreeNode<K, V> Node;

public:
//插入与搜索树是一致的
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//红黑树的插入就是搜索树的插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			//一开始根的颜色是黑色的
			return true;
		}

		//说明该二叉树不是空树，那么就进行比较找到位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				//记录结点的位置
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//走到这里表明cur为空了，表明位置已经找到了
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		//插入结点是红色的
		【为什么呢？】
		if (kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		//注意这个是三叉链，还要注意父指针
		cur->_parent = parent;
	      
	    ……………………
	    ……………………
	    ……………………
	    //接下来就是调整结点颜色的处理了
     }  
    
}
	  private:
		Node* _root=nullptr;
		
	};

1.为什么插入结点是红色的呢？

假设：当插入结点的父亲是红色结点时
如果插入结点是黑色，那么这样就会违法性质四：每条路径的黑色结点个数相同，这条路径多出一个黑色结点那么其他路径也要增加一个黑色结点，这很难去控制其他路径的黑色结点数量相同。但如果插入结点是红色的，只违法了性质三：不能出现连续的红色结点，并没有违法性质四，那么我们只要处理一下这条路径的出现连续红色结点的问题即可。并且当假设插入结点的父亲是黑色结点时，这样插入红色结点是没有一点问题的。
所以综上插入结点应该默认给红色。

当基本的插入操作结束后，就需要判断是否需要变色调整了。那么什么情况需要变色处理呢?

1.我们应该理解了插入结点默认是红色的。所以当父亲结点也是红色的时候我们就需要处理了。
2.因为涉及可能会多次调整，父亲结点可能会不存在，所以调整的前提是父节点存在才可以。

3.变色+向上处理

1.如何处理出现连续的红色结点问题呢？

【变色处理】
这个问题的解决关键在于叔叔！也就是父结点的兄弟结点。
当前结点是红色的，父亲结点也是红色的，想要解决必须要让父节点变成黑色，但是父节点一旦变成黑色，那么从祖父到当前结点的路径里就多出一个黑色结点了，而叔叔的那一条路径就少一个黑色结点(先不管其他的路径)。所以如果要让父亲变成黑色，那么叔叔理论上也要变成黑色。这样这两条路径的黑色结点数量才相同，这时，再将祖父的结点变成红色，这样这两条路径的黑色结点数量就又少了一个，最终和所有的路径的黑色结点都一样了。

处理结点颜色变色的关键在于uncle(叔叔)！
而下面的分析都是在uncle(叔叔)存在并且颜色为红色的基础上讨论的。
在这里插入图片描述

2.处理完后只是让问题暂时解决，但可能还会出现新的问题。就比如我们最后将祖父结点变成红色后，会出现什么样的问题？又该如何解决呢？

【向上处理】：当将祖父结点变成红色时。
1.当祖父有父亲，并且父亲是红色，那么就按照上面类似的解决。
2.当祖父没有父亲，说明祖父就是根结点，因为根节点必须是黑色的，所以最后需要将祖父变成黑色。
3.当祖父有父亲，并且父亲是黑色的，就可以结束调整。
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

总结：当uncle存在也为红色时。
出现连续的红色结点时的结点方法是：将父节点变成黑色，叔叔结点变成黑色，祖父结点变成红色。然后向上处理。
在这里插入图片描述

//插入结点是红色的！然后如果父节点是黑色的那么就没有事，但如果父节点是红色那么就需要讨论！
		//可能parent不存在
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//先记录下祖父位置
			
			if (parent==grandfather->_left)
			{
				//说明叔叔在右边
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//情况一：uncle存在且为红色
				if(uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//解决方法：变色+向上调整
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;

				}

4.旋转+变色

以上都是在uncle存在并且为红色的基础上讨论的。那么当uncle不存在呢？或者当uncle存在但是为黑色呢？

【uncle不存在时】

1.当uncle不存在时，如果是单纯的将父节点变成黑色是无法解决问题的，因为没有uncle结点，将父节点变成黑色后，每条路径上的黑色结点数量不同无法调整。所以需要使用选择来进行调整。然后再进行变色处理
在这里插入图片描述
2.这里的旋转与AVL树的旋转是一样的，当单纯的左边高就进行右旋，当单纯的右边高就进行左旋。当不是单纯的一边高时，就进行双旋。
旋转完后就可以再进行变色处理了。在这里插入图片描述
3.旋转完后parent会变成根结点，这样我们只要将parent变成黑色，其他两个变成红色即可，也就是让grandfather变成红色。
4.每次旋转完后就结束了。为什么呢？
因为旋转完后根节点会变成黑色，一旦出现黑色就不用再向上处理了。
5.【总结】:
当uncle不存在时，当出现连续的红色结点时，就需要旋转+变色处理
在这里插入图片描述

【uncle存在且为黑色时】

1.当uncle存在且为黑色时，单纯的变色也解决不了问题，也需要使用旋转来处理，处理完后再进行变色。
2.不过这种情况一般都是从下面变色上来遇到的，所以可能是不断的往上变色处理然后遇到了这种情况，无法处理就需要使用旋转了。而旋转是通过图形来确定的。
3.旋转后后parent就变成根就，grandfather就变成孩子了，所以将parent变成黑色，grandfather变成红色。

在这里插入图片描述

4.【总结】
当uncle存在且为黑色时，需要进行旋转+变色处理。
当uncle不存在时，需要进行旋转+变色处理。
当uncle存在且为红色时，需要进行变色+向上处理。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
因为一开始不知道叔叔是在那边，叔叔在哪侧位置会决定旋转的方向(本质上是父亲在哪边决定旋转方向)，所以需要讨论一下，当父亲在左边，那么叔叔就在右边。父亲在左边那么进行的的就是右旋和双旋，如果父亲在右边，那么进行的就是左旋和双旋。

	//插入结点是红色的！然后如果父节点是黑色的那么就没有事，但如果父节点是红色那么就需要讨论！
		//可能parent不存在
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//先记录下祖父位置
			
			if (parent==grandfather->_left)
			{
				//说明叔叔在右边
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//uncle存在且为红色
				if(uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//解决方法：变色+向上调整
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;


				}
				else//uncle不存在或者uncle存在为黑色   解决方法：旋转+变色   旋转完后作为根结点就需要变黑色
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//右旋
						RotateR(grandfather);
						//变色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//双旋
						//先左旋
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						//变色
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					break;
				}
			}
			else//parent==grandfather->_right
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				//uncle存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//uncle不存在或者存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						//左旋
						RotateL(grandfather);
						//变色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//先右旋再左旋
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						//变色
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;

				}
			}

		}
		//当最后调整到根节点时，父节点不存在，如果这时根结点要是红色的那么就是要变色红色
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

三.红黑树与AVL树的差别

AVL树追求决定平衡，要求高度差不能超过2.而红黑树不追求决定平衡，只要求最长路径不超过最短路径的二倍，它们都是高效的平衡搜索树，时间复杂度都是log2.但是AVL树在插入过程中因为要求决定平衡需要大量进行旋转操作，而红黑树的旋转操作相比较要少许多。
所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

四.完整代码

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;

//红黑树，不是红色就是黑色
enum Color
{
	RED,
    BLACK
};
template <class K, class V>
//先定义结点
struct RBtreeNode
{
	RBtreeNode<K, V>* _left;
	RBtreeNode<K, V>* _right;
	RBtreeNode<K, V>* _parent;
	Color _col;
	pair<K, V> _kv;
	RBtreeNode(const pair<K,V> kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_col(RED)//根结点是黑色,但插入的元素是红色的
		,_kv(kv)
	{}

};


template <class K, class V>
class RBTRree
{
	typedef RBtreeNode<K, V> Node;

public:
	bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blacknum != benchmark)
				return false;

			return true;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blacknum;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)
			&& CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return IsBalance(_root);
	}

	bool IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		if (root->_col != BLACK)
		{
			return false;
		}

		// 基准值
		int benchmark = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
				++benchmark;

			cur = cur->_left;
		}

		return CheckColour(root, 0, benchmark);
	}

	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{

		Node* cur = parent->_right;

		Node* curleft = cur->_left;
		parent->_right = curleft;
		if (curleft)
		{
			curleft->_parent = parent;
		}
		cur->_left = parent;
		Node* pp = parent->_parent;
		parent->_parent = cur;



		if (parent == _root)
		{
			//那么这样cur就是根结点了
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pp->_left == parent)
			{
				pp->_left = cur;
			}
			else
			{
				pp->_right = cur;
			}

			cur->_parent = pp;
			//旋转后cur和parent bf都为0?
		}
		
	}
	void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* cur = parent->_left;

		Node* curright = cur->_right;

		parent->_left = curright;
		if (curright)
		{
			curright->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;
		cur->_right = parent;
		parent->_parent = cur;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			//说明cur就变成根节点了
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;
			}
			cur->_parent = ppnode;
		}
		
	}
	//插入与搜索树是一致的
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//红黑树的插入就是搜索树的插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		//说明该二叉树不是空树，那么就进行比较找到位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				//记录结点的位置
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//走到这里表明cur为空了，表明位置已经找到了
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		//插入结点是红色的
		if (kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		//注意这个是三叉链，还要注意父指针
		cur->_parent = parent;
	    

		//插入结点是红色的！然后如果父节点是黑色的那么就没有事，但如果父节点是红色那么就需要讨论！
		//可能parent不存在
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//先记录下祖父位置
			
			if (parent==grandfather->_left)
			{
				//说明叔叔在右边
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//uncle存在且为红色
				if(uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//解决方法：变色+向上调整
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;


				}
				else//uncle不存在或者uncle存在为黑色   解决方法：旋转+变色   旋转完后作为根结点就需要变黑色
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//右旋
						RotateR(grandfather);
						//变色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//双旋
						//先左旋
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						//变色
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					break;
				}
			}
			else//parent==grandfather->_right
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				//uncle存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//uncle不存在或者存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						//左旋
						RotateL(grandfather);
						//变色
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//先右旋再左旋
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						//变色
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;

				}
			}

		}
		//当最后调整到根节点时，父节点不存在，如果这时根结点要是红色的那么就是要变色红色
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	private:
		Node* _root=nullptr;
		
	};
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