前言
一. 戳气球
首先我们看一下题干：对于超出了数组边界的，就当做它是一个数字为1的气球。遇到这种的，我们可以考虑给数组边界添加哨兵。其值为1。
// 左右各加一个哨兵节点
public int maxCoins(int[] nums) {
// 1.先处理特殊情况
if (nums.length == 1) {
return nums[0];
}
int len = nums.length;
// 左右各加一个哨兵节点
int[] arr = new int[len + 2];
arr[0] = 1;
arr[len + 1] = 1;
for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
arr[i] = nums[i - 1];
}
return ???
}
其次，我们假设有这么一个函数dfs，代表在(left,right)开区间内，可以获得的最大硬币数量。为啥是开区间？因为我们为数组添加了两个哨兵，这俩哨兵不应该在处理范围内。同时，设置俩哨兵的意义也就是：我们认定，每次戳气球的时候，必定存在至少3个气球（有两个可能是哨兵气球）
// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
}
那么，dfs递归，我们首先要写的就是他的递归终止条件：
// 气球数量不足3个
if (right - left < 2) {
return 0;
}
// 气球数量正好3个
if (right - left == 2) {
// 我们只能戳破中间的气球（左右两侧是哨兵），获得对应硬币数量
return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
}
其次，dfs递归，我们做啥事情？根据前面的递归终止条件可以判断出，此时气球的数量必定 > 3个。我们假设戳气球的步骤：
- 先把第k个气球的左侧给戳破完，那么左侧区域能获得的最大硬币数量为：
dfs(nums, left,k)。 - 再把第k个气球的右侧给戳破完，那么右侧区域能获得的最大硬币数量为：
dfs(nums, k,right)。 - 最后戳破第k个气球，那么戳破当前气球获得的硬币数量为：
nums[k] * nums[left] * nums[right]。
那么写成代码就是：
// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
int res = 0;
// 气球数量不足3个
if (right - left < 2) {
return 0;
}
// 气球数量正好3个
if (right - left == 2) {
return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
}
// 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
for (int k = left + 1; k < right; k++) {
// 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
int leftCount = dfs(nums, left, k);
int rightCount = dfs(nums, k, right);
int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
}
return res;
}
最终的完整代码：
public int maxCoins(int[] nums) {
// 1.先处理特殊情况
if (nums.length == 1) {
return nums[0];
}
int len = nums.length;
// 左右各加一个哨兵节点
int[] arr = new int[len + 2];
arr[0] = 1;
arr[len + 1] = 1;
for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
arr[i] = nums[i - 1];
}
return dfs(arr, 0, len + 1);
}
// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
int res = 0;
// 气球数量不足3个
if (right - left < 2) {
return 0;
}
// 气球数量正好3个
if (right - left == 2) {
return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
}
// 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
for (int k = left + 1; k < right; k++) {
// 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
int leftCount = dfs(nums, left, k);
int rightCount = dfs(nums, k, right);
int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
}
return res;
}
1.1 记忆化搜索
和 填充书架 一样，我们在dfs递归的时候，有大量的重复计算，我们用一个全局的dfsCache做一下缓存即可。
dfsCache的初始化：
dfsCache = new int[len + 2][len + 2];
for (int i = 0; i < len + 2; i++) {
Arrays.fill(dfsCache[i], -1);
}
dfsCache的作用体现：如果发现计算过这个值，直接返回，后续的递归直接不用做了。
if (dfsCache[left][right] != -1) {
return dfsCache[left][right];
}
完整代码：
public class Test312 {
int[][] dfsCache;
public int maxCoins(int[] nums) {
// 1.先处理特殊情况
if (nums.length == 1) {
return nums[0];
}
int len = nums.length;
// 左右各加一个哨兵节点
int[] arr = new int[len + 2];
arr[0] = 1;
arr[len + 1] = 1;
for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
arr[i] = nums[i - 1];
}
dfsCache = new int[len + 2][len + 2];
for (int i = 0; i < len + 2; i++) {
Arrays.fill(dfsCache[i], -1);
}
return dfs(arr, 0, len + 1);
}
// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
int res = 0;
// 气球数量不足3个
if (right - left < 2) {
return 0;
}
// 气球数量正好3个
if (right - left == 2) {
return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
}
if (dfsCache[left][right] != -1) {
return dfsCache[left][right];
}
// 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
for (int k = left + 1; k < right; k++) {
// 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
int leftCount = dfs(nums, left, k);
int rightCount = dfs(nums, k, right);
int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
}
return dfsCache[left][right] = res;
}
