1.堆的概念

堆（Heap）：

• 堆是一种特殊的树状数据结构，通常用于实现优先队列和相关算法。
• 堆分为最大堆（Max Heap）和最小堆（Min Heap）两种类型，具体取决于根节点的值与子节点的关系。在最大堆中，根节点的值最大，而在最小堆中，根节点的值最小。
• 堆具有以下特性：
  • 它是一个完全二叉树，通常使用数组来表示。
  • 在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
  • 在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 堆支持基本操作，如插入（将新元素插入堆中）、删除最大/最小元素（取出根节点，并调整堆结构以保持堆属性），以及堆排序等。

 2.堆的构造

以下是构造最大堆的一般步骤：

1. 从最后一个非叶子节点开始：最后一个非叶子节点是位于数组中的索引 (n/2 - 1)，其中 n 是堆中元素的数量。这是因为在一个堆中，叶子节点已经满足堆性质，只需要调整非叶子节点。

2. 下沉操作：从最后一个非叶子节点开始，对每个节点执行下沉操作。下沉操作是指将当前节点与其子节点中较大（或较小，具体取决于堆类型）的节点交换，以确保节点满足堆性质。这个过程会递归地向下进行，直到整个堆满足堆性质。

3. 重复步骤 2：继续从前一个非叶子节点向前移动，每次都执行下沉操作，直到到达堆的根节点（索引为0）。

下面是一个简单的示例，展示如何将数组构造为最大堆：

假设初始数组：[4, 10, 3, 5, 1]

1. 从最后一个非叶子节点开始，也就是索引1（10），执行下沉操作，将10与其子节点中较大的数（5）交换，得到：[4, 5, 3, 10, 1]

2. 继续向前，处理索引0的元素（4），执行下沉操作，将4与其子节点中较大的数（5）交换，得到最终的最大堆：[5, 4, 3, 10, 1]

构造最小堆的过程类似，只不过在下沉操作中会选择较小的子节点来交换。

总之，构造堆的过程是通过逐步调整堆中元素的顺序，使其满足堆性质。这个过程的时间复杂度通常为 O(n)，其中 n 是堆中元素的数量。

3.堆的插入

1. 将新元素添加到堆的底部：首先，将新元素插入到堆的底部，即数组的末尾。

2. 执行上浮操作：然后，对新插入的元素执行上浮操作。上浮操作是指将当前节点与其父节点进行比较，如果当前节点比父节点大（或小，根据堆的类型不同），则交换它们，直到整个堆满足堆性质。

3. 重复步骤 2：重复执行上浮操作，直到新元素到达合适的位置并满足堆性质。

下面是一个简单的示例，展示如何向最大堆中插入一个元素：

假设初始最大堆：[5, 4, 3, 2, 1]，现在要插入元素6。

1. 将元素6添加到堆的底部，得到：[5, 4, 3, 2, 1, 6]

2. 对新插入的元素6执行上浮操作。6比其父节点5大，所以交换它们，得到：[6, 4, 5, 2, 1, 3]

3. 再次执行上浮操作，直到元素6到达堆中合适的位置。最终得到满足堆性质的最大堆：[6, 4, 5, 2, 1, 3]

这样，就成功将元素6插入到了最大堆中，并保持了堆的性质。

插入操作的时间复杂度通常为 O(log n)，其中 n 是堆中元素的数量。这是因为插入操作需要进行一系列的上浮操作，其次数受到堆的高度（树的层数）的影响，通常堆是近似平衡的，因此高度约为 log n。

4.堆的删除

1. 删除堆顶元素：首先，将堆顶元素（最大值）删除，通常是将它与堆中的最后一个元素交换，并从堆中删除最后一个元素。这样可以确保堆的大小减少1。

2. 执行下沉操作：接下来，对新的堆顶元素执行下沉操作，也就是将当前节点与其较大的子节点进行比较并交换，直到整个堆再次满足堆性质。

3. 重复步骤 2：重复执行下沉操作，直到新的堆顶元素到达合适的位置并满足堆性质。

下面是一个简单的示例，展示如何从最大堆中删除最大值：

假设初始最大堆：[6, 4, 5, 2, 1, 3]，现在要删除最大值。

1. 删除堆顶元素6，并将它与堆中的最后一个元素3交换，得到：[3, 4, 5, 2, 1]

2. 对新的堆顶元素3执行下沉操作。3比其两个子节点4和5小，所以与较大的子节点5交换，得到：[5, 4, 3, 2, 1]

3. 再次执行下沉操作，直到新的堆顶元素5到达堆中合适的位置并满足堆性质。最终得到满足堆性质的最大堆：[5, 4, 3, 2, 1]

这样，就成功删除了最大堆中的最大值，并保持了堆的性质。

删除操作的时间复杂度通常为 O(log n)，其中 n 是堆中元素的数量。这是因为删除操作需要进行一系列的下沉操作，其次数受到堆的高度（树的层数）的影响，通常堆是近似平衡的，因此高度约为 log n。