3 Projective Geometry and Transformations of 3D
这章主要讲的是3D的射影几何，与2D的射影几何差不多。主要区别是：
- 3D射影几何对偶的是点和平面，直线是自对偶的。
- 3D空间中直线有4个自由度，这一现象并不是那么容易直接得出。一种方法是把直线用正交平面两个交点表示。
3.1 Points and projective transformations
三维空间的齐次坐标就是 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_1,x_2,x_3,x_4 x1,x2,x3,x4，比二维空间多一个。 x 4 x_4 x4一般是1，如果是0那就代表无穷远的点。
三维空间投影矩阵 H H H是 4 × 4 4 \times 4 4×4的，有15个自由度。
3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics
三维投影空间中点和面是对偶的。也就是说它们可以互相交换运算中的位置。
3.2.1 Planes
三维空间面就是：
π
1
X
+
π
2
Y
+
π
3
Z
+
π
4
=
0
\pi_1 X + \pi_2 Y +\pi_3 Z + \pi_4 = 0
π1X+π2Y+π3Z+π4=0
π 1 ， π 2 ， π 3 \pi_1，\pi_2，\pi_3 π1，π2，π3就是平面的法向量。
相交关系
- 三点确定一个平面
- 两个相交平面确定一个线
- 三个相交平面确定一个点
下面来讨论这几个关系的代数表述。
三个点确定一平面 我们假设点是
X
i
X_i
Xi, 平面式
π
\pi
π
确定平面需要解以下方程：
[
X
1
T
X
2
T
X
3
T
]
π
=
0
\left[ \begin{matrix} X_1^T \\ X_2^T \\ X_3^T \\ \end{matrix} \right] \pi = 0
X1TX2TX3T
π=0
书中p67 3.4式给了一个解析解。
三个平面确定一个点 把上述方程点和面的位置换一下就行。
[
π
1
T
π
2
T
π
3
T
]
X
=
0
\left[ \begin{matrix} \pi_1^T \\ \pi_2^T \\ \pi_3^T \\ \end{matrix} \right] X = 0
π1Tπ2Tπ3T
X=0
3.2.2 Lines
线段在三维空间中表示比较尴尬，因为点和面是对偶的，如果要表示线，那就需要5维向量。本节介绍了3种方法，我们掌握一种就可以了。
零空间理论 我们假设
A
,
B
A,B
A,B是两个点，经过这两个点的直线除了叉乘，还可以表示为：
W
=
[
A
T
B
T
]
W= \left[ \begin{matrix} A^T\\ B^T \end{matrix} \right]
W=[ATBT]
那么把 A , B A,B A,B换成平面，上式就是两个平面相交形成的点。
3.2.3 Quadrics and dual quadrics
三维空间中的二次曲面定义如下：
X
T
Q
X
=
0
X^T Q X = 0
XTQX=0
Q是一个 4 × 4 4 \times 4 4×4的对称矩阵，主要有以下性质：
- Q有9个自由度
- 8个点确定一个二次曲面
- Q如果是奇异矩阵，那么二次曲面退化了
- 二次曲面可以确定一个点和一个极平面 π = Q X \pi=QX π=QX
- 平面 π \pi π和Q的交线就是圆锥
- 如果点变换是 X ′ = H X X'=HX X′=HX，那么Q上的点就会被变换成 Q ′ = H − T Q H − 1 Q'=H^{-T} Q H^{-1} Q′=H−TQH−1
- Q Q Q的对偶定义为 Q ∗ Q^* Q∗，是由与Q相切的面组成的
3.2.4 Classification of quadrics
3.4 The hierarchy of transformations
- 投影变换15个自由度，不变量是相交的平面、垂直的平面
- 仿射变换12个自由度，不变量是平行的平面、体积之间的比例、无穷远处的平面.
- 相似变换7个自由度，不变量是无穷远处的圆锥
- 刚体变换6个自由度，不变量是体积
3.5 The plane at infinity
我们记得在二维投影空间中有一个无穷远的直线 l ∞ l_{\infty} l∞，那么类似地，在三维投影空间就有一个无穷远平面 π ∞ \pi_{\infty} π∞，在该平面上还有一个绝对圆锥 Ω ∞ \Omega_{\infty} Ω∞
- π ∞ \pi_{\infty} π∞是两个平行平面的交点
- 平行线的交点在 π ∞ \pi_{\infty} π∞上，与平面平行的直线也在 π ∞ \pi_{\infty} π∞上
结论3.7 无穷远平面在投影变换下保持不变当且仅当该变换是仿射变换。
3.6 The absolute conic
绝对圆锥
Ω
∞
\Omega_{\infty}
Ω∞是
π
∞
=
(
0
,
0
,
0
,
1
)
\pi_{\infty}=(0,0,0,1)
π∞=(0,0,0,1) 上的圆锥，满足：
X
1
2
+
X
2
2
+
X
3
2
=
0
X
4
2
=
0
X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 = 0 \\ X_4^2=0
X12+X22+X32=0X42=0
写成圆锥表达式就是：
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
I
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
T
=
0
(X_1,X_2,X_3)I(X_1,X_2,X_3)^T = 0
(X1,X2,X3)I(X1,X2,X3)T=0
结论3.9 绝对圆锥在投影变换下保持不变，当且仅当该变换是相似变换。
所有的圆都和绝对圆锥相交于两点，所有的球都和绝对圆椎相交于 π ∞ \pi_{\infty} π∞
度量性质 当我们知道了绝对圆锥，我们就可以恢复度量性质，比如直线之间的夹角：
cos θ = d 1 T Ω ∞ d 2 ( d 1 T Ω ∞ d 2 ) ( d 1 T Ω ∞ d 2 ) \cos \theta = \frac{d_1^T \Omega_{\infty} d_2}{\sqrt{(d_1^T \Omega_{\infty} d_2)(d_1^T \Omega_{\infty} d_2)} } cosθ=(d1TΩ∞d2)(d1TΩ∞d2)d1TΩ∞d2
3.7 The absolute dual quadric
就是由与绝对圆锥相切的平面组成的圆锥，记为 Q ∞ ∗ Q_{\infty}^* Q∞∗，对偶圆锥也在相似变换下保持不变。 π ∞ \pi_{\infty} π∞是 Q ∞ ∗ Q_{\infty}^* Q∞∗的零向量。
