在月球上看地球和太阳是怎么转的？

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参数初始化

众所周知，地球围绕太阳转，月球围绕地球转。但在地球上看，月亮和太阳都绕着地球转，那么如果我们是土生土长的月球人，我们看到的是谁绕着谁转呢？

日地月就是典型的三体系统，其中太阳质量为 $1.989×10^{30}kg$ ，地球质量为 $5.965×10^{24}kg$ ，月球质量为 $7.342✕10^{22}kg$ ，万有引力常数为 $G=6.67×10^{-11}N·m2/kg^2$ 。地月距离为 $3.8\times10^8m$ ；日地距离为 $1.5\times10^{11}m$ ；地球公转速度为 $28.8 km / s$ ；月球公转速度为 $1 km / s$ ，则各参数初始化为

import numpy as np
#后续代码主要更改这里的参数
m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12]
x = np.array([0, 1.5e11, 1.5e11+3.8e8])
y = np.array([0.0, 0, 0])
u = np.array([0.0, 0, 0])
v = np.array([0,2.88e4,2.88e4+1.02e3])

运动模型

日地月的运动遵循古老而经典的万有引力

$\vec F=\frac{Gm_im_j}{r^2}\vec e_r$

然后根据牛顿运动定律

$m_i\frac{\text d\vec v_i}{\text dt}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij},\quad\vec v_i=\frac{\text d\vec r_i}{\text dt}$

写为差分形式

$\begin{aligned} \vec v_i&=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij}\text dt\\ \vec r_i&= \vec v_i\text dt \end{aligned}$

将其在二维平面坐标系中拆分，令 $\vec v=(u,v)$ ，则短时间内其变化规则可写为

$\begin{aligned} u_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(x_j-x_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ v_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(y_j-y_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ x_i&+= \vec u_i\text dt\\ y_i&+= \vec v_i\text dt \end{aligned}$

接下来，以太阳为坐标系，做出月亮和地球的运动轨迹

from itertools import product
N = 1000
dt = 36000
ts =  np.arange(0,N*dt,dt)/3600/24
xs,ys = [],[]
for _ in ts:
    x_ij = (x-x.reshape(3,1))
    y_ij = (y-y.reshape(3,1))
    r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2)
    for i,j in product(range(3), range(3)):
        if i==j : continue
        u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
        v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
    x,y = x+u*dt, y+v*dt
    xs.append(x.tolist())
    ys.append(y.tolist())

xs = np.array(xs)
ys = np.array(ys)

其中，xs和ys都是 $N\times3$ 的矩阵，其三列分别代表太阳、地球以及月球的坐标，但地月之间的距离远小于日地间的距离，为了在画图的时候可以看清，所以扩大一百倍

xS, yS = xs[:,0], ys[:,0]
xE, yE = xs[:,1], ys[:,1]
xM = xE + 100*(xs[:,2]-xE)
yM = yE + 100*(ys[:,2]-yE)

绝对坐标系

接下来就是激动人心的时刻，先画出三者在绝对空间中的运动情况

import matplotlib.pyplot as plt

def drawSystem(xS, yS, xE, yE, xM, yM, ax):
    ax.plot(xS, yS, marker='o', color='red', label='sun')
    ax.plot(xE, yE, color='blue', label='earth')
    ax.plot(xM, yM, color='cyan', ls='--', lw=1, label='moon')
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.tight_layout()

ax = plt.subplot()
drawSystem(xS, yS, xE, yE, xM, yM, ax)
plt.show()

在这里插入图片描述

以太阳和地球为中心

接下来分别以太阳和地球为坐标原点，绘制其变化

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1,2,1)
drawSystem(xS-xS, yS-yS, xE-xS, yE-yS, xM-xS, yM-yS, ax)
ax = fig.add_subplot(1,2,2)
drawSystem(xS-xE, yS-yE, xE-xE, yE-yE, xM-xE, yM-yE, ax)
plt.show()

在这里插入图片描述

左边是以太阳为原点，右边是以地球为原点，所以在地球上看，月亮和太阳都是绕着我们旋转的。

以月球为坐标原点

最后，来看看月球人怎么看这个问题吧

plt.plot(xS-xM, yS-yM, color='red', label='sun')
plt.plot(xE-xM, yE-yM, color='blue', label='earth')
plt.plot(xM-xM, yM-yM, marker='o', color='cyan'， label='moon')
plt.legend()
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()

在这里插入图片描述

可以看到，地球是绕着月球转的，而太阳就比较无语了，不知道在外面画什么圈圈。当然，这个图是放大之后的结果，而且月球人需要意识到月亮在自转，否则被地球潮汐锁定的月球，是看不出地球的位置变化的。