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前言
一、583. 两个字符串的删除操作
两种思路：1.直接动态规划，求两个字符串需要删除的最小次数 2.采用子序列的和-最长公共子序列。思路一分析如下：
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。
- 确定递推公式
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
这里可能不少录友有点迷糊，从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i][j-1] + 1。
- dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。
- 确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
- 举例推导dp数组
代码（思路一）：
关键代码：
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2, Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
优化代码：
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
for(int i =1;i<=len1;i++){
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1;j<=len2;j++){
dp[0][j] = j;
}
for(int i = 1;i<=len1;i++){
for(int j =1;j<=len2;j++){
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j]+1);
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}
代码（思路二）：
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
for(int i = 1;i<= len1;i++){
for(int j = 1;j<= len2;j++){
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
return len1 + len2 - 2*dp[len1][len2];
}
}二、72. 编辑距离
因为前面的铺垫，这题显得并不困难，难点在于理解；另外，本题的代码基本复制的上一题的解法一，只更改了了一行代码：
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 1, Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
因为题解基本一致，这里只提及了最有差异的递推公式的解：
确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 不操作 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 增 删 换也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])那么说明不用任何编辑，dp[i][j]就应该是dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];此时可能有同学有点不明白，为啥要即
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？那么就在回顾上面讲过的
dp[i][j]的定义，word1[i - 1]与word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是dp[i][j]了。在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下
dp[i][j]的定义，就明白了。在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解
dp[i][j]的定义！
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
- 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
- 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如
word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd'和word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：a a d +-----+-----+ +-----+-----+-----+ | 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 | +-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+ a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 | +-----+-----+ +-----+-----+-----+ d | 2 | 1 | +-----+-----+操作三：替换元素，
word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。可以回顾一下，
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]对吧。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
所以
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;综上，当
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;递归公式代码如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; } else { dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; }
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
for(int i =1;i<=len1;i++){
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1;j<=len2;j++){
dp[0][j] = j;
}
for(int i = 1;i<=len1;i++){
for(int j =1;j<=len2;j++){
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1]+1,Math.min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j]+1));
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}
三、动态规划之编辑距离总结篇
考虑动态规划，首先明确dp数组以及下标的含义（如果是i-1，j-1，考虑一下好处），随后是递推公式，这里需要对两个字符串（因为基本是字符串数组）的前后操作进行思考，接着进行初始化，初始化会因为dp数组的含义不同而不同；其次是根据递推公式确定遍历顺序，因此最后一步打印dp数组也成为检验的重要一步。
总结
动态规划。
